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※ 文章中の長い数式はスクロールできます! ※ 著作権の都合上、問題全文は掲載できません。 問題はお手持ちのもので参照してください。

2019年大阪医科大学第2問

問1 $0.125 \ \mathrm{mol/L}$

問2 $2.31 \times 10^{-2} \ \mathrm{/s}$

問3

問4 $5.00 \times 10^{-2} \ \mathrm{L/mol・s}$

問5 $1.82 \times 10^{-1} \ \mathrm{mol/L}$

 

問1 表1において,$30$ 秒で濃度が半減していることが分かるので,$90$ 秒では,$$(\displaystyle \frac{ 1 }{ 2 })^3 = \displaystyle \frac{ 1 }{ 8 }$$ $$ ∴ 1.000\ \mathrm{mol/L} \times \displaystyle \frac{ 1 }{ 8 } = 0.125  (\mathrm{mol/L })$$

問2 問題文中より,反応速度 $v_1 = k_1 [\mathrm{A}]$ は,$$\log_e {\displaystyle \frac{ [\mathrm{A}]_t }{ [\mathrm{A}]_0}} = -k_1 t$$と表せるとある。(※証明は下の補足1にて。)

補足1
$$\ce{A -> B}$$ $$v_1 = k_1 [\mathrm{A}]$$ 反応速度は単位時間あたりの濃度変化であるから,$$-\displaystyle \frac{ d[\mathrm{A}] }{ dt } = k_1 [\mathrm{A}] \hspace{10mm} \displaystyle \frac{ d [\mathrm{A}] }{ [\mathrm{A}] }  = -k_1 dt $$
両辺積分をすると $C$ を積分定数として, $$\int \displaystyle \frac{ d[\mathrm{A}] }{ [\mathrm{A}] }= -\int k_1 dt$$ $$ \log_e [\mathrm{A}] = -k_1 t + C $$
$t = 0$ のとき,$ [\mathrm{A}] = [\mathrm{A}] _0$ であるから,$$C = \log_e [\mathrm{A}]_0 $$ $$\log_e [\mathrm{A}]_t = -k_1 t + \log_e [\mathrm{A}] _0$$ $$ ∴ \log_e {\displaystyle \frac{ [\mathrm{A}]_t }{ [\mathrm{A}]_0}} = -k_1 t$$

表1の$30$ 秒のときの値を用いると,$$\log_e {\displaystyle \frac{ 0.500 }{ 1.000 }} = -30k_1$$ $$-\log_e 2 = -30k_1$$ $$k_1 = \displaystyle \frac{ \log_e 2 }{ 30 } ≒ 2.31 \times 10^{-2}$$

単位については,求める単位を $\mathrm{X}$ とすると,$v_1 = k_1 [\mathrm{A}]$より,$$\mathrm{mol/L・s = X ・mol/L}$$ $$\mathrm{X = 1/s}$$

 

問3 グラフの縦軸が濃度 [C] の逆数であることに注意して点を打っていくと,直線になる。

問4 問題文中より,$v_2 = k_2 [\mathrm{C}]^2 $から,$$\displaystyle \frac{ 1 }{ [\mathrm{C}]_t } - \displaystyle \frac{ 1 }{ [\mathrm{C}]_0} = k_2 t $$ で表せるとある。 (※証明は下の補足にて。)

補足2
$$\ce{2C -> D}$$ $$v_2 = k_2 [\mathrm{C}]$$ 反応速度は単位時間あたりの濃度変化であるから,$$-\displaystyle \frac{ d[\mathrm{C}] }{ dt } = k_2 [\mathrm{C}]^2 \hspace{10mm} \displaystyle \frac{ d [\mathrm{C}] }{ [\mathrm{C}]^2 }  = -k_2 dt $$
両辺積分をすると $E$ を積分定数として, $$\int \displaystyle \frac{ d[\mathrm{C}] }{ [\mathrm{C}]^2 }= -\int k_2 dt$$ $$ - \displaystyle \frac{ 1 }{ [\mathrm{C}] } = -k_2 t + E $$
$t = 0$ のとき,$ [\mathrm{C}] = [\mathrm{C}] _0$ であるから,$$E = -\displaystyle \frac{ 1 }{[\mathrm{C}]_0  } $$ $$- \displaystyle \frac{ 1 }{ [\mathrm{C}]_t } = -k_2 t - \displaystyle \frac{ 1 }{ [\mathrm{C}]_0 }$$ $$∴ \displaystyle \frac{ 1 }{ [\mathrm{C}]_t } - \displaystyle \frac{ 1 }{ [\mathrm{C}]_0} = k_2 t $$

$$k_2 = \displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{ 1 }{ [\mathrm{C}]_t }- \displaystyle \frac{ 1 }{ [\mathrm{C}]_0 } }{ t }$$ と変形できるので, $k_2$ は問3のグラフの傾きである。$$k_2 = \displaystyle \frac{ 2.5 - 1 }{ 30 } = 0.0500$$

単位については,求める単位を $\mathrm{Y}$ とすると,$v_2 = k_2 [\mathrm{C}]^2$より,$$\mathrm{mol/L・s = Y ・(mol/L)^2}$$ $$\mathrm{Y = L/mol・s}$$

 

問5
$\displaystyle \frac{ 1 }{[\mathrm{C}]_{90}  } - 1 = 0.05 \times 90 $ より,

$[\mathrm{C}]_{90} = \displaystyle \frac{ 1 }{ 5.5 } = 0.1818 … $

 

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