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高校化学 | ヘンリーの法則の公式と問題の解き方

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気体が水に溶けるときの計算問題がよく分からない。

「ヘンリーの法則を用いよ」と言われても、どう使うのかが分からない。

体積が絡んだ問題で答えが合わないことがある。

この記事ではヘンリーの法則を解説します。

公式の説明だけではなく、実際の問題を通して解法を載せるので、

読んでいけばきっと上記の悩みが解決に向かうでしょう。

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目次

ヘンリーの法則の基本の公式|水に溶けるモルは圧力と溶媒量に比例する

以下、溶媒は全て水で説明します。

ヘンリーの法則 その1

水に溶けにくい気体において温度が一定であれば、水に溶ける気体の物質量$\,\pu{mol}\,$や質量$\,\pu{g}\,$は圧力に比例する。

このままでは実用性がないので、水の量を加味した形で理解しておくと良いです。

気体が溶解する量 公式

水に溶けにくい気体において、温度が一定であれば、水に溶ける気体の物質量$\,\pu{mol}\,$や質量$\,\pu{g}\,$は圧力や溶かしている溶媒量に比例する。

$\pu{P_{0} [Pa]}$ で水 $\pu{V_{0} [L]}$ に気体が $\pu{n_{0} [mol]}$ 溶けるとき、

$\pu{P_{1} [Pa]}$ で水 $\pu{V_{1} [L]}$ に溶ける気体の物質量 $\pu{n [mol]}$ は、

$\bold{\textcolor{red}{n = n_0\ \x\ \f{P_1}{P_0}\ \x\ \f{V_1\ \text{水}}{V_0\ \text{水}}}}$ で計算できる。

圧力を $\f{P_1}{P_0}$ 倍かけて,水を $\f{V_1}{V_0}$ 倍用意すると,
溶解する気体の mol は,その倍率に応じて変化する。

ヘンリーの法則の基本問題の解法

レベル1 | ヘンリーの法則の基礎

$0$ ℃, $\pu{1.0E5 \tume Pa}\,$の$\,\ce{N2}\,$は水$\,\pu{1.0 \tume L}\,$に$\,\pu{1.0E-3 \tume mol}\,$溶けるものとする。
今、$0$ ℃, $\pu{3.0E5 \tume Pa}\,$の$\,\ce{N2}\,$が水$\,\pu{2.0 \tume L}\,$に接している。有効数字は$\,2\,$桁で求めよ。

(1) この水に溶けている$\,\ce{N2}\,$は何$\,\pu{mol}\,$か。

圧力を$\,3\,$倍かけて水を$\,2\,$倍にしたので、元の$\,\pu{mol}\,$より$\,6\,$倍溶けることになります。

それをきちんと式で表そうとしたら、公式の形になります。

$$1.0 \times 10^{-3} \mathrm{\ mol} \times \dfrac{3.0 \times 10^5 \mathrm{Pa}}{1.0 \times 10^5 \mathrm{Pa}} \times \dfrac{2.0\ \mathrm{L\ \text{水}}}{1.0\ \mathrm{L\ \text{水}}} = 6.0 \times 10^{-3} \mathrm{( mol )} $$

答えは $\pu{6.0E-3 mol}$ です。

(2) この水に溶けている$\,\ce{N2}\,$の質量は何$\,\pu{g}\,$か。(分子量は$\,\ce{N2} = 28$ )

(1)の水に溶けている$\,\pu{mol}\,$を$\,\pu{g}\,$に直します。

$$\pu{6.0E-3 mol}\ \x\ \pu{28 g/mol} = \pu{168E-3 g}$$

(1) が聞かれていなくて,いきなり(2)を聞かれた場合は、$\pu{mol}\,$を出してから分子量をかければOKです。

$$1.0 \times 10^{-3} \mathrm{\ mol} \times \dfrac{3.0 \times 10^5 \mathrm{\ Pa}}{1.0 \times 10^5 \mathrm{\ Pa}} \times \dfrac{2.0\ \mathrm{L\ \text{水}}}{1.0\ \mathrm{L\ \text{水}}} \times 28 \mathrm{\ g/mol } = 168 \times 10^{-3} \mathrm{\ g }$$

有効数字$\,2\,$桁に直して、答えは $\pu{0.17 g}$ です。

(3) この水に溶けている$\,\ce{N2}\,$の体積は標準状態で何$\,\pu{L}\,$か。

気体の体積を測るときは,圧力$\,P\,$, 温度$\,T\,$を指定する必要があります。

この作業は,水に溶けている気体を一旦とりだして,圧力$\,\bold{P}\,$・温度$\,\bold{T}\,$を指定した部屋で体積$\,\bold{V}\,$を測定すると考えると良いです。

(1)の水に溶けている$\,\pu{mol}\,$を標準状態での$\,\pu{L}\,$に直します。
$$\pu{6.0E-3 mol}\ \x\ \pu{22.4 L/mol} = \pu{133.4E-3 L}$$
(1)が聞かれていなくて,いきなり(3)を聞かれた場合は、$\pu{mol}\,$を出してから$\,22.4\,$をかければ OK です。

$$1.0 \times 10^{-3} \mathrm{\ mol} \times \dfrac{3.0 \times 10^5 \mathrm{\ Pa}}{1.0 \times 10^5 \mathrm{\ Pa}} \times \dfrac{2.0\ \mathrm{L\ \text{水}}}{1.0\ \mathrm{L\ \text{水}}} \times 22.4 \mathrm{\ L/mol } = 134.4 \times 10^{-3} \mathrm{\ L} $$

有効数字$\,2\,$桁に直して、$\pu{0.13 \tume L}\,$が答えです。

レベル2 | 体積が与えられたときのヘンリーの法則

$0$ ℃, $\pu{1.0E5 \tume Pa}\,$の$\,\ce{N2}\,$が水$\,\pu{1.0 \tume L}\,$に溶ける量は、標準状態に換算して$\,\pu{23 \tume mL}\,$である。今、$0$ ℃, $\pu{2.0E5 \tume Pa}\,$の$\,\ce{N2}\,$が水$\,\pu{1.0 \tume L}\,$に接している。有効数字は$\,2\,$桁で求めよ。

(1) この水に溶けている $\ce{N2}$ は何$\mathrm{\ mol}$ か。

標準状態での $\pu{23 mL}$ を$\,\pu{mol}\,$に直しますが,その$\,\pu{mol}\,$は $\pu{1.0E5 Pa}$ かけていた時に水に溶けている$\,\pu{mol}\,$の値に等しいです。そこからヘンリーの法則を適用します。
この流れはしっかり理解しておきましょう。

$$\dfrac{23.0\ \mathrm{mL}}{22400\ \mathrm{mL/mol} } \times \dfrac{2.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}}{1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}} \times \dfrac{1.0\ \mathrm{L\ \text{水}}}{1.0\ \mathrm{L\ \text{水}}} = \dfrac{46}{22400} = 2.05 \cdots \times 10^{-3}\ \mathrm{( mol )} $$

(2)この水に溶けている$\,\ce{N2}\,$は標準状態で何$\,\pu{mL}\,$か。

$$\dfrac{23.0\ \mathrm{mL}}{22400\ \mathrm{mL/mol} } \times \dfrac{2.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}}{1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}} \times \dfrac{1.0\ \mathrm{L\ \text{水}}}{1.0\ \mathrm{L\ \text{水}}} \times 22400\ \mathrm{mL/mol}\ = 46\ \mathrm{( mL )} $$

(3) この水に溶けている $\ce{N2}$ は、$0$ ℃, $2.0 \times 10^5 \mathrm{\ Pa}$ で何 $\pu{mL}$ か。

【解法1】(2)の利用

ボイル・シャルルの法則を用いて

$ \begin{align}
\dfrac{PV}{T} &= \dfrac{P’V’}{T’} \\
\\
\dfrac{1.013 \times 10^5\ \mathrm{Pa}\ \times 46\ \mathrm{mL}\ }{273\ \mathrm{K}\ } &= \dfrac{2.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}\ \times V’\ \mathrm{mL}\ }{273\ \mathrm{K}\ } \\
\\
V’ & \fallingdotseq 23\ \mathrm{mL}\
\end{align}$

ヘンリーの法則のもう1つの公式|体積のみで考える問題

問題文中で水に溶ける気体の量が体積で与えられ、求める値も体積で答える場合、

次のように体積のみで考えると良いです。

ヘンリーの法則 その2

水に溶けにくい気体において、温度が一定であれば、水に溶ける気体の体積 ($\pu{L}$) について次のことがいえる。
(当記事では、体積ヘンリーと呼ぶことにする。)

そのときの圧力で体積をはかると、かけた圧力に依らず体積の値は一定である。
(ただし、水量や温度には比例する。)

$ \pu{V} = \pu{V_{0}}\ \x\ \f{V_1\ \text{水} }{V_0\ \text{水}}$
※ 圧力の倍率は不要!

一定圧力下で体積をはかると、圧力に比例する。
(水量や温度にも比例する。)

$ \pu{V} = \pu{V_{0}}\ \x\ \f{P_1}{P_0}\ \x\ \f{V_1\ \text{水} }{V_0\ \text{水}}$

そのときの圧力で気体の体積を測ると,$\pu{mol}$ 数が $k$ 倍となっているのに体積は一定値 ( $V_0 = V_1$ ) をとっている。(真ん中の図)これは、測定時の圧力も $k$ 倍となっているため、$k$ が約分されてしまうからである。

前の問題の (3) を、この考え方を使って解いてみよう。

(再掲)
$0\pu{℃}$, $1.0 \times 10^5 \mathrm{\ Pa}$ の$\,\ce{N2}\,$が水 $1.0 \mathrm{\ L}$ に溶ける量は、標準状態に換算して $23 \mathrm{\ mL}$ である。今、$0$ ℃, $2.0 \times 10^5 \mathrm{\ Pa}$ の$\,\ce{N2}\,$が水 $1.0 \mathrm{\ L}$ に接している。

(3) この水に溶けている$\,\ce{N2}\,$は、$0$ ℃, $2.0 \times 10^5 \mathrm{\ Pa}$ で何 $\pu{mL}$ か。

ともけむ

$\pu{2.0E5 Pa}$ で水に接している窒素の体積を、$\pu{2.0E5 Pa}$ の元で測るので、『そのときの圧力』で測っていることになります。

【解法2】いわゆる体積ヘンリーを用います。

そのときの圧力で水に溶けている気体の体積$\,V\,$を測定すると、圧力に依らず$\,V\,$は一定。
問題文中のデータにおいて $\pu{1.0 L}$ の水に溶ける$\,\ce{N2}\,$は $\pu{23 mL}$ とあるから、
水の倍率のみを考えて、

$23\ \mathrm{mL}\ \times \dfrac{1.0\ \mathrm{L\ \text{水}}}{1.0\ \mathrm{L\ \text{水}}} = 23\ \mathrm{(mL)}\ $

念のためもう$\,1\,$問、体積ヘンリーの問題を挙げておきます。

$0$ ℃, $1.0 \times 10^5 \mathrm{\ Pa}$ の$\,\ce{O2}\,$が水 $1.0 \mathrm{\ L}$ に溶ける量は、標準状態に換算して $49 \mathrm{\ mL}$ である。今、$0$ ℃, $3.0 \times 10^5 \mathrm{\ Pa}$ の$\,\ce{O2}\,$が水 $2.0 \mathrm{\ L}$ に接している。水に溶けている$\,\ce{O2}\,$の体積はこの時の温度・圧力において何$\ \mathrm{mL}\ $か。有効数字は$\,2\,$桁で求めよ。

そのときの圧力で水に溶けている気体の体積$\,V\,$を測定すると、圧力に依らず$\,V\,$は一定であるから、
水の倍率のみ考えて、

$$ 49\ \mathrm{mL}\ \times \dfrac{2.0\ \mathrm{L\ \text{水}}}{1.0\ \mathrm{L\ \text{水}}} = 98\ \mathrm{mL}\ $$

レベル3 | 混合気体(空気)のヘンリーの法則は分圧で考える

$0$ ℃, $1.0 \times 10^5 \mathrm{\ Pa}$ で $\ce{N2}$ と $\ce{O2}$ が水 $1.0 \mathrm{\ L}$ に溶ける量は、それぞれ標準状態に換算して $23 \mathrm{\ mL}, 49 \mathrm{\ mL}$ である。今、$0$ ℃, $1.0 \times 10^5 \mathrm{\ Pa}$ の空気が水に接している。水に溶けている$\,\ce{N2}\,$と$\,\ce{O2}\,$の物質量比(モル比)を最も簡単な整数比で答えよ。ただし空気に含まれる$\,\ce{N2}\,$と$\,\ce{O2}\,$の物質量比(モル比)を$\,4:1\,$とする。

$\ce{N2}$ と $\ce{O2}$ の分圧は,それぞれ全圧の $\f{4}{5}$倍,$\f{1}{5}$倍となる。

水の量を $v \ \mathrm{L}\ $とすると

$$ \begin{align}
\dfrac{ \ce{N2} }{ \ce{O2} }

&= \dfrac{ \dfrac{23\ \mathrm{mL}\ }{22400\ \mathrm{mL/mol}\ } \times \dfrac{1.0 \times 10^5 \times \dfrac{4}{5} \ \mathrm{Pa}\ }{1.0 \times 10^5 \ \mathrm{Pa}\ } \times \dfrac{v \ \mathrm{L\ \text{水}}\ }{1\ \mathrm{L\ \text{水}}\ } }{\dfrac{49\ \mathrm{mL}\ }{22400\ \mathrm{mL/mol}\ } \times \dfrac{1.0 \times 10^5 \times \dfrac{1}{5} \ \mathrm{Pa}\ }{1.0 \times 10^5 \ \mathrm{Pa}\ } \times \dfrac{v \ \mathrm{L\ \text{水}}\ }{1\ \mathrm{L\ \text{水}}\ } } \\
\\
&= \dfrac{23 \times 4}{49}\\
\\
&= \dfrac{92}{49}

\end{align}$$

したがって、$ \ce{N2} : \ce{O2} = 92 : 49$

レベル4 | 温度変化を考慮するヘンリーの法則

$40$ ℃, $1.013 \times 10^5 \mathrm{\ Pa}$ の$\,\ce{N2}\,$が水 $1.0 \mathrm{\ L}$ に溶ける量は、標準状態に換算して $11.6 \mathrm{\ mL}$ である。今、$40$ ℃, $2.026 \times 10^5 \mathrm{\ Pa}$ の$\,\ce{N2}\,$ が水 $1.0 \mathrm{\ L}$ に接している。

(1) この水に溶けている$\,\ce{N2}\,$の体積は標準状態で何$\ \mathrm{mL}\ $か。有効数字は$\,2\,$桁で求めよ。

$$\dfrac{11.6\ \mathrm{mL}}{22400\ \mathrm{mL/mol} } \times \dfrac{2.026 \times 10^5\ \mathrm{Pa}}{1.013 \times 10^5\ \mathrm{Pa}} \times \dfrac{1.0\ \mathrm{L\ \text{水}}}{1.0\ \mathrm{L\ \text{水}}} \times 22400\ \mathrm{mL/mol}\ = 23.2\ \mathrm{( mL )} $$

有効数字$\,2\,$桁に直して、答えは $23\mathrm{\ mL}$ です。

(2) この水に溶けている$\,\ce{N2}\,$の体積は、$40$ ℃, $2.026 \times 10^5 \mathrm{\ Pa}$で何$\ \mathrm{mL}\ $か。

【解法1】体積ヘンリーを用いる

そのときの圧力で水に溶けている気体の体積$\,V\,$を測定すると、圧力に依らず$\,V\,$は一定。
問題文中のデータの体積 $11.6\ \mathrm{mL}\ $は標準状態($0$ ℃)、調べたい体積は$\,40\,$℃ なので、温度変化があることに注意しましょう。
$\,PV=nRT\,$において、$P, n, R\,$が一定だから、$\,V\,$は$\,T\,$に比例します。

$11.6\ \mathrm{mL}\ \times \dfrac{(40+273)\ \mathrm{K}\ }{(0+273)\ \mathrm{K}\ } \times \dfrac{1.0\ \mathrm{L\ \text{水}}}{1.0\ \mathrm{L\ \text{水}}} = 13.29 \cdots$

有効数字$\,2\,$桁に直して、答えは $13\mathrm{\ mL}$ です。

【解法2】(1)の結果を用いる

(1)の体積は標準状態なので、

$$( P, V, T) = ( 1.013 \times 10^5\ \mathrm{Pa\ }, 23.2\ \mathrm{mL\ }, 273\ \mathrm{K}\ )$$

調べたい環境は、

$$( P’, V’, T’) = ( 2.026 \times 10^5\ \mathrm{Pa\ }, V’\ \mathrm{mL\ }, 313\ \mathrm{K}\ )$$

これらよりボイル・シャルルの法則を用いると、

$$\dfrac{1.013 \times 10^5\ \mathrm{Pa}\ \times 23.2\ \mathrm{mL}\ }{273\ \mathrm{K}\ }
= \dfrac{2.026 \times 10^5\ \mathrm{Pa}\ \times V’\ \mathrm{mL}\ }{313\ \mathrm{K}\ }$$
$$V’ = 23.2\ \mathrm{mL}\ \times \dfrac{313\ \mathrm{K}\ }{273\ \mathrm{K}\ } \times \dfrac{1.013 \times 10^5\ \mathrm{Pa}}{\pu{2.026E5 Pa}} = 13.29 \cdots$$

有効数字$\,2\,$桁に直して、答えは $\pu{13 mL}$ です。

レベル5−1 | 定積容器におけるヘンリーの法則は気相と液相に分けて立式

$\pu{40 ℃}$, $\pu{1.013E5 Pa}$ の$\,\ce{N2}\,$が水 $\pu{1.0 L}$ に溶ける量は,標準状態に換算して $\pu{11.6 mL}$ である。いま,中を真空にした容積 $\pu{1.86 L}$ の密閉容器に水 $\pu{200 mL}$ を入れた後,$\pu{0.56 g}$ の$\,\ce{N2}\,$を入れて $\pu{40 ℃}$ に保ったまま十分に放置した。水中に溶けている$\,\ce{N2}\,$の物質量 [$\mathrm{mol}$] はいくらか。有効数字$\,2\,$桁で答えよ。$\,\ce{N}\,$の原子量は$\,14\,$, 気体定数は $\pu{8.3E3 Pa*L / (K*mol)}$ を用い,容器内の水は蒸発しないものとする。

気相(気体のみの部分)では$\,\bold{PV = nRT}\,$、液相(液体の部分)ではヘンリーの法則をそれぞれ適用して連立します。

気相について
気体の体積$\,V\,$は気体粒子が動き回れる範囲なので,水の体積分を引く必要があります。
$V = \pu{1.86 L}\ -\ \pu{0.2 L} = \pu{1.66 L}$

気相の圧力を $P\ \pu{Pa}$, 水に溶けなかった$\,\ce{N2}\,$の物質量を $n_g\ \pu{mol}$ とすると,

$$\begin{align}
PV &= nRT\\
\\
P\ \x\ 1.66 &= n_g\ \x\ \pu{8.3E3} \x\ (40 + 273) \\
\\
n_g &= \pu{6.38E-7}P\ ( \pu{mol} )
\end{align}$$

液相について水に溶けた$\,\ce{N2}\,$の物質量を $n_l\ \pu{mol}$ とすると,
ヘンリーの法則を用いて、

$$\begin{align}
n_l &= \f{ \pu{11.6 mL} }{ \pu{22.4 L/mol } } \x \f{ \pu{ P Pa} }{ \pu{1.013E5 Pa} } \x \f{\pu{0.2 L} \text{水}}{ \pu{1 L} \text{水}}\\
\\
&= \pu{1.02E-6}\ P\ ( \pu{mol} )\\
\end{align}$$


はじめに加えた$\,\ce{N2}\,$は $\f{ \pu{0.56 g} }{ \pu{28 g/mol} } = \pu{0.02 mol}$ で、

その$\,\ce{N2}\,$は気相か液相のどちらかにいます。したがって、

$$\begin{align}
n_g + n_l &= 0.02\\
\\
\pu{6.38E-7}\ P + \pu{1.02E-6}\ P &= 0.02\\
\\
\pu{1.658E-6}\ P &= 0.02\\
\\
P &= \pu{1.20E4}
\end{align}$$

液相の式の$\,P\,$に数値を代入すると、

$$\begin{align}
n_l &= \pu{1.02E-6}\ P\\
\\
&= \pu{1.02E-6}\ \x \pu{1.20E4} \\
\\
&= 0.01224
\end{align}$$

したがって、$\bold{\pu{1.2E-2 mol}}$

レベル5−2 | 体積ヘンリーが必要な読解問題

$40$℃において、$\,\ce{N2}\,$が水 $\pu{1.00 L}$ に溶ける量は $\pu{13.3 mL}$ である。
いまピストン付き容器の内部において$40$℃ で、ある量の$\,\ce{N2}\,$が水 $\pu{1.00 L}$ に接している 。このときピストンに $\pu{1.50E5 Pa}$ の圧力をかけて、平衡状態になるまで時間をおいたところ、気相の体積が$\pu{100 mL}$ となった。この状態から圧力を $\pu{1.00E5 Pa}$ にすると、気相中の$\,\ce{N2}\,$の体積は何 $\pu{mL}$ となるか。整数値で答えよ。
ただし、この系ではヘンリーの法則が成り立つとし水の蒸気圧は無視する。また、圧力が変わっても水の体積は変化しないこととする。

水に溶けている気体と気相にいる気体をすべて同じピストン付き容器に入れて考える。

$40$℃ で$\,\ce{N2}\,$が水 $\pu{1.00 L}$ に溶ける量に関して,圧力の値が示されていません。

このときは体積ヘンリー:「そのときの圧力で測定すれば $V$ は一定」であることを用いましょう。

ヘンリーの法則の式中で圧力の値が使えないので,圧力の倍率を用いない解法を選択すれば良いのです。

ともけむ

この問題において水に溶けている$\,\ce{N2}\,$の体積は,そのときの圧力で測れば常に $\pu{13.3 mL}$ です!

はじめの状態において、水にとけている$\,\ce{N2}\,$も含めてすべて別のピストンに入れたとき、次の状態方程式が成り立ちます。

$$\pu{1.50E5} \x ( 0.1 + 0.0133) = nRT $$

圧力を $\pu{1.0E5 Pa}$ としたとき、求める気相の体積を $\pu{V L}$ として上記と同様に状態方程式を立てると、

$$\pu{1.00E5} \x ( V + 0.0133) = nRT $$

これら2つの式を連立すると、

$\begin{align}
\f{ \pu{1.50E5}}{\pu{1.00E5}} \x \f{ 0.10 + 0.0133 }{ V + 0.0133} &= 1 \\
\\
1.5 \x 0.113 &= V + 0.0133\\
\\
0.1695 &= V + 0.0133\\
\\
V &= 0.1562
\end{align} $

$\pu{mL}$ 単位にして整数値に直すと、答えは $\boldsymbol{\pu{156 mL}}$ です。

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